Concours Centrale Supelec

mathématiques 2 MP

22 Mai

Un sujet d'analyse et de probabilité qui se proposait de démontrer un cas particulier du théorème central limite.

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Concours X ENS

mathématiques A MP

5 Juin

A propos des quaternions.

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Quantum bit.

Un bit classique peut contenir soit 0 ou 1; un bit quantique (qubit) peut être dans un état intermédiaire, qui n'est ni 0 ou 1, ou les deux en même temps, une superposition des deux états.

On modélise mathématiquement par: \[ \ket\psi = \alpha\ket0 + \beta\ket1 \] avec \(\alpha,\beta\in\mathbb{C}\) tels que \(\abs{\alpha}^2+\abs{\beta}^2=1\).

Ainsi, un qubit est décrit par un vecteur unitaire d'en espace vectoriel complexe de dimension 2.

\(\ket\psi\) est un ket dans la notation dite de Dirac; penser à un vecteur colonne \(X=\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}\).

\(\bra\psi\) est le bra correspondant, le vecteur dual; penser au vecteur ligne \(\overline{X}^T=\begin{bmatrix}\overline{\alpha} &\overline{\beta}\end{bmatrix}\).

La notation prend tout son sens lorsqu'on remarque que \[ \begin{alignat*}{1} \overline{X_1}^TX_2 &= \overline{\alpha_1}\alpha_2 + \overline{\beta_1}\beta_2\\ &= \braket{\psi_1}{\psi_2} \end{alignat*} \] est le produit scalaire usuel.

Si on essaie de mesurer un qubit dans un état \(\ket\psi\), à l'aide d'un appareil capable de distinguer les deux états orthogonaux \(\ket0\) et \(\ket1\), le résultat est aléatoire ! On obtiendra: \[ \begin{alignat*}{1} &= \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{avec une probabilité } \abs{\alpha}^2 \\ 1 & \mbox{avec une probabilité } \abs{\beta}^2. \end{array} \right. \\ \end{alignat*} \]

De plus, après la mesure, l'état du qubit devient: \[ \begin{alignat*}{1} \ket\psi&= \left\{ \begin{array}{ll} \ket0 & \mbox{si on a lu 0} \\ \ket1 & \mbox{si on a lu 1} . \end{array} \right. \\ \end{alignat*} \] C'est une autre spécificité de la mécanique quantique: l'observation perturbe le système de manière irréversible.

Si on pose \[ \begin{alignat*}{1} \alpha &= \rho_1e^{i\mkern1mu\varphi_1}\\ \beta &= \rho_2e^{i\mkern1mu\varphi_2} \end{alignat*} \] où \(\rho_1,\rho_2\in\mathbb{R}^+\),on a: \[ \begin{alignat*}{1} \ket\psi &= \rho_1e^{i\mkern1mu\varphi_1}\ket0 + \rho_2e^{i\mkern1mu\varphi_2}\ket1 \\ &= e^{i\mkern1mu\varphi_1}(\rho_1\ket0 + \rho_2e^{i\mkern1mu(\varphi_2-\varphi_1)}\ket1) \\ \end{alignat*} \]

Le facteur \( e^{i\mkern1mu\varphi_1}\) (global phase) n'ayant aucune signification physique, on peut se ramener au cas \(\varphi_1=0\). Ainsi tout qubit est représenté de manière unique par: \[ \begin{alignat*}{1} \ket\psi &= \rho_1\ket0 + \rho_2e^{i\mkern1mu(\varphi_2-\varphi_1)}\ket1\quad\text{ avec }\rho_1,\rho_2\in\mathbb{R}^+\text{ et }\rho_1^2+\rho_2^2=1\\ &=\cos\frac{\theta}{2}\ket0 + \sin\frac{\theta}{2}e^{i\mkern1mu\varphi}\ket1 \\ \end{alignat*} \] avec \(\theta\in[0,\pi]\) et \(\varphi\in[0,2\pi[\).

On associe le qubit \(\ket\psi\) au point de la sphère unité de \(\mathbb{R}^3\) de coordonnées sphériques \(\theta,\varphi\); Cette bijection conduit à la représentation appellée Sphère de Bloch:

Sphère de Bloch

L'ensemble des qubits se visualise à l'aide de la sphère unité de \(\mathbb{R}^3\).

Bloch sphere