Un sujet analyse-algèbre qui étudie les conditions de stabilité de l'équation différentielle suivante
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
y'=\varphi(y)& \\
y(0)=x_0&
\end{array}
\right.
\]
ou \(\varphi\) est une application de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^n\) de classe \(C^1\).
La première partie permet l'étude du système linéarisé autour de l'état d'équilibre \(\varphi(0)=0\):
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
y'=\mathrm{d}\varphi_0(y)& \\
y(0)=x_0&
\end{array}
\right.
\]
dont la solution est bien connue:
\begin{alignat*}{1}
\mathbb{R}^{+}&\to\mathbb{R}^{n}\\
t&\mapsto e^{t\mathrm{d}\varphi_0}x_0
\end{alignat*}
La dernière partie utilise l'analyse pour appliquer les résultats obtenus pour l'équation différentielle linéaire à l'étude de la solution du problème général.
Les méthodes d'analyse de Lyapunov sont importantes pour l'étude des systèmes non linéaires en robotique par example. Il est rarement possible d'obtenir une solution explicite pour une équation différentielle non linéaire, et le monde réel est rarement linéaire; on cherchera plutôt à prouver des propriétés de stabilité asymptotique.
Un corrigé de l'épreuve de maths 1 posée le 2 Mai en MP concours Mines-Ponts 2023:
Un sujet d'analyse assez intéressant qui étudie la fonction de Wallis:
\[
\begin{alignat*}{1}
f:]-1,+\infty[&\to\mathbb{R}^{+*}\\
x&\mapsto \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin t)^x \mathrm{d} t
\end{alignat*}
\]
qui est une généralisation des intégrales bien connues avec l'exposant entier.
Représentation de \(f\) la fonction de Wallis:
Représentation interactive de \(f\) la fonction de Wallis:
Un corrigé de l'épreuve de maths 2 posée le 3 Mai en MP concours Mines-Ponts 2023:
Un sujet d'algèbre, très long, sur les polynômes et le calcul ombral.
Au coeur de ce formalisme, on a la dérivation de Pincherle.
On introduit l'opérateur \(\mathbf{x}\) qui est un endomorphisme de polynômes:\[
\begin{alignat*}{1}
\mathbf{x}:\mathbb{K}[X]&\to\mathbb{K}[X]\\
p&\mapsto Xp
\end{alignat*}
\]
On introduit alors la dérivation de Pincherle, qui est un endomorphisme d'endomorphismes de polynômes:
\begin{alignat*}{1}
\mathrm{End}(\mathbb{K}[X])&\to\mathrm{End}(\mathbb{K}[X])\\
T&\mapsto T'=T\mathbf{x}-\mathbf{x}T
\end{alignat*}
On retrouve des propriétés qui nous sont familières, comme:
\[(\sum_{k=0}^{+\infty} a_k D^k)'=\sum_{k=1}^{+\infty} ka_k D^{k-1}\]
\[(ST)'=S'T+ST'\]
On étudie particulièrement les endomorphismes shift invariants:
\[
\begin{alignat*}{1}
E_a:\mathbb{K}[X]&\to\mathbb{K}[X]\\
p&\mapsto p(X+a)
\end{alignat*}
\]
\[
T \text{ shift invariant }\Leftrightarrow \forall a,\quad TE_a=E_aT
\]
Un corrigé de l'épreuve de maths 1 posée le 9 Mai en MP concours Centrale Supelec 2023:
Retrouver le sujet:
Pour ceux qui veulent appronfondir ce sujet, l'article de référence suivant est en accés libre (consulté le 26 Mai 2023):
Un sujet assez intérressant, cohérent, mêlant analyse et probabilité.
Il y avait quelques passages assez difficiles:
Les questions 22 à 25, qui permettaient de démontrer la convergence uniforme d'une suite de fonctions vers la densité de la loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\), \(\varphi(t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)
la question 31 permettait de démontrer un cas particulier du théorème central limite. \[\mathrm{P}(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n}}\geqslant u )\underset{n\to+\infty}{\rightarrow}\int_u^{+\infty} \varphi(t)\mathrm{d} t\]
Les \(X_i\) sont ici des VA indépendantes qui prennent pour valeur -1 ou 1 avec la probabilité \(\frac{1}{2}\).
La question 33 était une application qui permettait de démontrer un critère de tension.
On pouvait ainsi observer que la loi normale est une limite de suite de lois binomiales, ou encore que la loi binomiale est une sorte de discrétisation de la loi normale.
En fait le théorème central limite est beaucoup plus puissant, puisque le résultat démontré dans la question 31 s'étend à toute suite de VA indépendantes centrées, de même loi, possédant une variance \(\sigma^2_X\). On dit que la VA \[\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n}}\] converge en loi vers la loi normale \(\mathcal{N}(0,\sigma^2_X)\).
Un corrigé de l'épreuve de maths 2 posée le 12 Mai en MP concours Centrale Supelec 2023:
Il est facile de se perdre dans l'immensité du monde des matrices, les différentes sortes, leurs propriétés, la localisation de leurs valeurs propres,les différentes décompositions possibles qui s'appliquent à chaque catégorie...
Ce génial document créé par Kenji Hiranabe, avec l'aide de Gilbert Strang, permet de visualiser facilement les ensembles de matrices, à la manière des ensembles de nombres \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\). Indispensable.
Les ensembles de matrices:
La localisation des valeurs propres pour différentes catégories de matrices:
On finit cette série de sujets de concours 2023 en section PC par cet interminable sujet, qui part dans a peu près tous les sens: polynômes, programmation python, série entières, sommation des séries doubles pour finir par des probabilités.
A mon sens, il n'y a pas de question qui demandait une réflexion très poussée, plutôt un test de savoir-faire techniques, et en particulier le calcul de sommes, finies ou infinies.
La question 14 a peut-être pu poser des problèmes au candidats
Il fallait être rigoureux pour la justification de la question 41.
Evidemment vu le nombre de questions (41), le but était d'être particulièrement rapide et efficace.
La partie la plus intéressante était la partie I.B, dont le résultat central était la formule \[\sum_{n=0}^{+\infty}n^kx^n = \frac{P_k(x)}{(1-x)^{k+1}} \], où \(P_k\) est un polynôme de degré k.
On peut calculer les coefficients de \(P_k\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}[X]\) en utilisant un programme de complexité asymptotique \(O(k^2)\).
Un corrigé de l'épreuve de maths 2 posée le 12 Mai en PC concours Centrale Supelec 2023:
Le sujet était assez dense, avec beaucoup de questions (35 contre par exemple 24 contre le sujet Mines-Ponts 1); toutefois il y a beaucoup de questions relativement simples, ou assorties d'une indication généreuse.
Le sujet portait sur principalement sur le rayon spectral des matrices et proposait une démonstration du théorème de Perron-Frobenius, dans le cas de certaines matrices symétriques positives.
Les matrices étudiées sont positives dans le sens \[\forall (i,j)\in \lBrack 1,n\rBrack^2,\quad A_{ij} \geqslant 0 \], et non pas de le sens de la positivité de la forme quadratique \(\ X^TAX\)
Les résultats démontrés s'étendent aux matrices \(A>0\) (non nécéssairement symétriques):
\(\mathrm{sp}(A)=\lambda\)>0 est une valeur propre de \(A\), associée à une vecteur propre \(X>0\)
\(\mathrm{dim}(\ker(A-\lambda I_n))=1\)
\(\lambda\) est dominante: toute autre valeur propre \(\mu\) de \(A\) dans \(\mathbb{C}\) vérifie \(\lvert\mu\rvert<\lambda\).
Le théorème de Perron-Frobenius a de nombreuses applications en ingénierie et en économie, parmi lesquelles l'algorithme PageRank du moteur de recherche Google.
Un corrigé complet de l'épreuve de maths 1 posée le 9 Mai en PC concours Centrale Supelec 2023:
Le sujet portait sur les chaînes de Markov. On modélisait un système discret, avec le nombre de transitions dans l'intervalle \([0,t]\) qui suivait une loi de Poisson. Pas mal de calculs de sommes un peu délicats, mais le sujet paraissait un peu plus simple que le 1er, en tout cas plus classique.
On retrouvait les matrices symétriques positives, sous la forme des endomorphismes autoadjoints positifs, ce qui était un peu redondant avec le sujet 1.
La question 18 était le résultat fondamental de la dernière partie, et permettait de déterminer dans la question 21 que le la loi de probabilité du système se stabilisait après un temps suffisamment long:
\[\forall j\in \lBrack 1,N\rBrack,\quad \lim_{t\to+\infty} H_t[1,j] = \pi(j) \], où
\(H_t[1,j]\) est la probabilité que le système soit dans l'état \(j\) à l'instant \(t\)
\(\pi\) est la probabilité invariante de la matrice de transition \(K\) (vecteur propre à gauche associé à la valeur propre 1).
Un corrigé complet de l'épreuve de maths 2 posée le 3 Mai en PC concours Mines-Ponts 2023:
Le thème du sujet était la convexité, mais faisait intervenir beaucoup d'algèbre avec des manipulations de matrices symétriques positives.
La partie 5 était assez intérressante avec un mélange d'analyse et d'algèbre. On demandait de dériver des fonctions matricielles, notamment la trace.
Les questions qui pouvaient peut-être poser le plus de difficultés étaient
la question 8, où il fallait décomposer simultanément deux matrices symétriques.
\[\forall A\in S_n^{++}(\mathbb{R}),B\in S_n(\mathbb{R}),\quad\\ A=QQ^T B=QDQ^T\] avec \(Q\in GL_n(\mathbb{R})\) et \(D\) diagonale.
la question 18. A partir d'un DL en 0, on pouvait décaler l'origine des t pour obtenir la dériver au voisinage de 0.
la question 23: il fallait démonter la positivité d'une expression qui s'avérait être quadratique; on pouvait donc faire intervenir une matrice symétrique pour utiliser un résultat précédent.
Un corrigé de l'épreuve de maths 1 posée le 2 Mai en PC:
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